PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

Pengertian

Pertidaksamaan ialah kalimat terbuka yang mneggunakan tanda ketidaksamaan (<, >, ≤, ≥) dan mengandung variakel. Secara umum pertidaksamaan merupakan cara untuk menyatakan suatu selang atau interval. Tanda “<” dan “>” menyatakan selang terbuka dan pada garis bilangan digambarkan dengan noktah kosong( )

Pertidaksamaan nilai mutlak merupakan jenis pertidaksamaan yang mengandungnilai mutlak. Nilai mutlak menghitung jarak suatu angka dari 0—misal, x. mengukur jarak x dari nol.
Persamaan nilai mutlak merupakan sebuah persamaan yang selalu bernilai positif.Pertidaksamaan nilai mutlak ialah sebuah perbandingan ukuran dua objek atau lebih yang selalu bernilai positif.

Rumus Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Pada sudut pandang geometri, nilai mutlak dari x ditulis sebagai | x |, yaitu jarak dari x ke 0 pada garis bilangan real. Dikarenakan jarak itu selalu positif atau nol maka nilai mutlak x pun selalu memliki nilai positif ataupun nol untuk setiap x bilangan real.
Secara formal, nilai mutlak x didefinisikan dengan
\begin{equation*} |x|=\begin{cases} x, & x\geq 0 \\ -x, & x<0. \end{cases} \end{equation*}
atau bisa  ditulis
| x | =  x jika x ≥ 0
| x | = -x jika x < 0
Definisi tersebut dapat pula dinyatakan sebagai
  
\begin{equation*} |x|=\sqrt{x^{2}}. \end{equation*}

Sifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Mengambil nilai mutlak dari persamaan nilai mutlak ternyata sangat mudah. Dengan mengikuti dua aturan yang penting sudah bisa menentukan nilai mutlaknya. Yang intinya, nilainya akan positif jika fungsi di dalam tanda mutlak itu lebih dari nol. Dan akan menjadi bernilai negatif andai fungsi di dalam tanda mutlaknya kurang dari nol.
Beberapa sifat dasar dari nilai mutlak bilangan real diantaranya:

 |x|\geq 0
|x|=0                
|xy|=|x||y|
\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|}, asalkan y≠0
Salah satu sifat penting pada nilai mutlak yang banyak digunakan dalam konsep matematika maupun penerapannya adalah sifat ketidaksamaan segitiga berikut.

Untuk setiap bilangan real x,y  berlaku: 
\begin{eqnarray*} \left||x|-|y|\right|\leq |x+y|\leq |x|+|y| \\ \vspace{1cm} \left||x|-|y|\right|\leq |x-y|\leq |x|+|y| \end{eqnarray*}
a, a ≥ 0, maka
  
\begin{eqnarray*} |x|=a&\text{ jika dan hanya jika }&x=a \text{ atau } x=-a \\ |x|\leq a&\text{ jika dan hanya jika }& -a\leq x \leq a \\ |x|< a&\text{ jika dan hanya jika }& -a<x <a \\ |x|\geq 0&\text{ jika dan hanya jika }& x\leq -a \text{ atau }x\geq a \\ |x|> 0&\text{ jika dan hanya jika }& x>-a \text{ atau }x> a \end{eqnarray*}
Lebih baik, untuk setiap bilangan real x dan y
  
\begin{equation*} |x|\leq |y| \text{ jika dan hanya jika }x^{2}\leq y^{2}. \end{equation*}

Pengantar Nilai Mutlak

Fungsi nilai mutlak merupakan fungsi yang kontinu. Jika kita gambarkan dalam bentuk grafik, gambar grafik fungsi nilai mutlak membentuk garis lurus, seperti membentuk huruf v pada interval tertentu.
Grafik yang dihasilkan memiliki satu buah titik puncak dan garisnya simetris, antara ruas kanan dan kiri.
Cara penyelesaian nilai mutlak :
Langkah 1 adalah dengan cara Evaluasi pada bentuk pertidaksamaan dengan nilai mutlak yang sudah dinotasikan dengan X
pada fokusnya ialah dengan bentuk f(x) – < a dan f(x)> a atau f- (x) berupa fungsi yang kosntanta.
Langkah 2 merupakan dengan cara dapat mengubah pertidaksamaan nilai mutlak dengan menjadi pertidaksamaan yang biasa dengan pertidaksamaan -x < 3 atau dengan x < -3
Langkah 3 merupakan dengan cara nilai x seperti angka negatif untuk menyendirikan -x ke salah satu sisi.
Langkah 4 merupakan dengan cara untuk himpunan dengan penyelesaian dari nilai x dengan jangkauan nilai yang sering mempunyai dua penyelesaian.
Contoh soal dan cara penyelesaiannya:
1. Selesaikanlah persamaan -2|x-4|+3 = 15
     Cara Menyelesaikannya:
Pertama-tama kita harus mengisolasi nilai mutlak caranya adalah dengan memisahkan nilai mutlak agar berada pada satu ruas, sementara suku yang lain kita pindahkan menuju ruas yang lain.
-2|x-4|+3 = 15
-2|x-4|= 15– 3
-2|x-4|= 12
|x-4|= 6
Pada persamaan nilai mutlak x-4 adalah “X” sehingga kita bisa menyimpulkan bahwa:
x-4 = 6 atau x-4 = -6
sehingga
x = 2 atau x = -10
maka himpunan penyelesaian dari persamaan di atas adalah {-6, 10}
2. Tentukanlah  himpunan penyelesaian 
|4x + 2| ≥ 10
Jawaban :
|4x + 2| ≥ 10 (4x + 2 ≤ -10atau 4x + 2 ≥ 10)
|4x + 2| ≥ 10 (4x ≤ -8 atau 4x ≥ 12)
|4x + 2| ≥ 10 (x ≤ -2 atau x ≥ 3)
Maka, HP = (x ≤ -2 atau x ≥ 3)

3.Tentukan nilai x yang memenuhi |2x+18|=x+4
Penyelesaian :
|2x+18|
2x+18 untuk 2x+18 ≥ 0
   2x ≥ -18
   x  ≥ -18/2 x  ≥  -9                                      

 -(2x+18) untuk 2x+18< 0
   2x    < -18
x     < -18/2 x     <  -9
====>Untuk interval x≥-8
|2x+18| = x+4
  2x+18  = x+4
   2x-x    = 4-18
         x    = -14
x=-14 tidak termuat dalam interval x≥8
Jadi interval x≥8 tidak mempunyai penyelesaian.
====>Untuk interval x<-8
 |2x+18| = x+4
-(2x+18) = x+4
   -2x-18  = x+4
   -2x-x     = 4+18
       -3x     = 22
          x      = 22/-3
          x      = -7 1/3
x=-7 1/3 tidak termuat dalam interval x<-8

Jadi interval x<-8 tidak mempunyai penyelesaian.


4.Himpunan penyelesaian pertidasamaan mutlak berikut
  \[ \left | x + 5 \right | > \left | x - 2 \right | \]
Berdasarkan ketentuan pada pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh pertidaksamaan berikut.
  \[ \left ( x + 5 \right ) ^{2} > \left ( x - 2 \right ) ^{2} \]
  \[ x^{2} + 10x +25 > x^{2} - 4x + 4 \]
  \[ x^{2} - x^{2} + 10x + 4x +25 - 4 > 0 \]
  \[ 14x + 21 > 0 \]
  \[ 14x > -21 \]
  \[ x > - \frac{21}{14} \]
  \[ x > - \frac{3}{2} \]
Sehingga himpunan penyelesaian pertidasamaan mutlak \left | x + 5 \right | > \left | x - 2 \right | adalah x > - \frac{3}{2}.

Komentar

Posting Komentar